Question

設(shè)實(shí)數(shù)a≥1，使得不等式x|x-a|+

3

2

≥a，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]恒成立，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍是

[1，

3

2

]∪[

5

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：令f（x）=x|x-a|，則由題意可得 f_min（x）≥a-

3

2

，分1≤a≤2和a＞2兩種情況分別求出實(shí)數(shù)a的范圍，再取并集即得所求．

解答：解：∵a≥1，不等式x|x-a|+

3

2

≥a，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]恒成立，等價(jià)于x|x-a|≥a-

3

2

．
令f（x）=x|x-a|，則有 f_min（x）≥a-

3

2

．
當(dāng)1≤a≤2時(shí)，f（x）=x|x-a|=

x(x-a)  ， a ≤x≤2 x(a-x) ， ≤x＜a

，∴f_min（x）=f（a）=0，
∴0≥a-

3

2

，解得 a≤

3

2

，故 1≤a≤

3

2

．
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）=x（a-x），此時(shí)f_min（x）=f（1）或f（2），
故有

f(1)≥a- 3 2 f(2)≥a- 3 2

，即

a-1≥a- 3 2 2a-4≥a- 3 2

，解得 a≥

5

2

．
綜上可得  1≤a≤

3

2

或 a≥

5

2

．
故答案為[1，

3

2

]∪[

5

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．