Question

設函數f（x）=

1

3

x³-（1+a）x²+4ax+24a，其中常數a≥1
（I）討論f（x）的單調性；
（II）是否存在實數a≥1，使得對任意x≥0，都有f（x）＞0成立？若存在，求出a的所有可能取值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求函數f（x）的導函數f′（x），再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數的單調區間，本題需討論a與1的關系；（II）先將問題轉化為求函數f（x）在[0，+∞）上的最小值大于零問題，再利用（I）中結論列不等式求a的范圍即可

解答：解：（I）由題意可知f′（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）
（1）當a=1時，此時f′（x）=（x-2）²≥0，所以原函數f（x）在R上為增函數
（2）當a＞1時，此時由f′（x）＞0可得x＞2a或x＜2
所以原函數f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上為增函數，在（2，2a）上為減函數
綜合可知當a=1時原函數f（x）在R上為增函數，當a＞1時原函數f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上為增函數，在（2，2a）上為減函數
（II）存在．由題意可知只要f（x）在區間（0，+∞）上的最小值大于0即可．
（1）當a=1時，函數f（x）在R上為增函數，所以只需f（0）＞0即可，顯然符合
（2）當a＞1時因為函數f（x）在[0，2）和（2a，+∞）上為增函數，在（2，2a）上為減函數
所以此時只需

f(0)＞0 f(2a)＞0

代入解得0＜a＜6
所以1＜a＜6
綜合（1）（2）可知1≤a＜6

點評：本題考查了導數在函數單調性中的應用，導數在求函數最值中的應用，不等式恒成立問題的解法，分類討論的思想方法