Question

（2012•河西區二模）已知a＞0，函數f（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]．
（1）當a=1時，求f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）設函數g（x）=

4x2-7

2-x

是否存在實數a≥1，使得對于任意x₁∈[0，1]總存在x₀∈[0，1]滿足f（x₁）=g（x₀）？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，求出f（2），切線斜率為k=f′（2），利用點斜式可得切線方程；
（2）f′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），分0＜a＜1，a≥1兩種情況進行討論解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（3）問題等價于f（x）的值域為g（x）的值域的子集，由（2）易求f（x）的值域，利用導數可求g（x）的值域，根據集合包含關系可得不等式組，若有解則存在，無解則不存在；

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x³-3x-2，f（2）=0，
f′（x）=3x²-3，f′（2）=9，
所以f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為：y-0=9（x-2），即9x-y-18=0；
（2）f′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），
令f′（x）=0，解得x=a或-a，
因為a＞0，所以a＞-a，
當0＜a＜1時，x∈[0，1]，
令f′（x）＞0，得a＜x≤1，所以f（x）在[a，1]上為增函數，令f′（x）＜0，得0≤x＜a，所以f（x）在[0，a]上為減函數；
當a≥1時，x∈[0，1]，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在[0，1]上為減函數；
綜上所述，當0＜a＜1時，f（x）在[a，1]上為增函數，在[0，a]上為減函數；當a≥1時，f（x）在[0，1]上為減函數；
（3）由（2）可知，當a≥1時，f（x）在[0，1]上為減函數，
所以f（x）∈[1-3a²-2a，-2a]，
又g′（x）=

-4x2+16x-7

(2-x)2

，
令g′（x）＞0，得

1

2

＜x＜

7

2

，所以g（x）在[

1

2

，1]上單調遞增；令g′（x）＜0，得x＜

1

2

或x＞

7

2

，
所以f（x）在[0，

1

2

]上單調遞減；
所以g（x）∈[-4，-3]，
假設存在實數a，使得對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]滿足f（x₁）=g（x₀），
則

1-3a2-2a≥-4 -2a≤-3

，化簡得

- 5 3 ≤a≤1 a≥ 3 2

，不等式無解，
所以這樣的實數a不存在．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值及恒成立問題，考查轉化思想，考查學生分析問題解決問題的能力．