Question

已知指數函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的反函數g（x）的解析式；（2）解不等式：g（x）≤log_a（2-3x）．

Answer 1

分析：（1）將y=a^x作為方程利用指數式和對數式的互化解出x，然后確定原函數的值域即得反函數的值域，問題得解．
（2）由a＞1，g（x）≤log_a（2-3x），可得2-3x≥x＞0，解不等式組可求；當1＞a＞0，log_ax≤log_a（2-3x）．可得0＜2-3x≤x，最后綜合即可．

解答：解：（1）由y=a^x得x=log_ay且y＞0，
即：y=log_ax，x＞0，
所以函數y=a^x的反函數是g（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
（2）解：∵a＞1，log_ax≤log_a（2-3x）．
∴2-3x≥x＞0
∴0＜x≤

1

2

；
∵1＞a＞0，log_ax≤log_a（2-3x）．
∴0＜2-3x≤x
∴

1

2

≤x＜

2

3

．
∴a＞1原不等式的解集為(0，

1

2

]；0＜a＜1時，不等式的解集為[

1

2

，

2

3

)．

點評：本題屬于基礎性題，思路清晰、難度小，但解題中要特別注意指數式與對數式的互化，考查了利用對數函數的單調性解不等式，二次不等式的求解，解題中要注意，對對數的真數大于0的限制是解題中容易漏掉的考慮．