Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）討論在上的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先確定單調性，然后求導數，再通過討論的范圍，確定的符號，從而確定單調性.

（2）根據的單調性，分別討論當時，在上的單調性，從而確定在區間兩端點的函數值符號以及最值的符號，結合零點存在性定理，即可判斷在上的零點個數情況.

解：（1）函數的定義域為..

當時，即，，在上單調遞增，

∴在上單調遞增.

當時，即，當時，，當時，，

∴在上單調遞減，在上單調遞增.

∴當時，在上單調遞增.

當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）設，則由（1）知

①當時，即，當時，，在單調遞減

，

∴當，即，時，在上恒成立，

∴當時，在內無零點.

當，即，時，，

根據零點存在性定理知，此時，在內有零點，

∵在內單調遞減，∴此時，在有一個零點.

②當時，即，當時，，在單調遞增，

，.

∴當，即時，，根據零點存在性定理，此時，在內有零點.

∵在內單調遞增，∴此時，在有一個零點.

當時，，∴此時，在無零點.

③當時，即，當時，；當時，；

則在單調遞減，在單調遞增.

∴在上恒成立，∴此時，在內無零點.

∴綜上所述：

當時，在內有1個零點；

當時，在有一個零點；

當時，在無零點.