Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線C相切于點P，過點P作拋物線C的割線PQ，割線PQ與拋物線C的另一交點為Q，A為PQ的中點.過A作y軸的垂線與y軸交于點H，與直線l相交于點N，M為線段AN的中點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）在x軸上是否存在一點T，使得當割線PQ變化時，總有為定值？若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點，使得恒為定值1.

【解析】

（1）聯立直線與拋物線的方程，結合根的判別式可求出的值；

（2）先算出點，設出點的坐標，算出的中點的坐標，得出點在拋物線上，利用拋物線定義可得為定值1．

（1）由，得，

即①.

依題意，.

解得.

所以拋物線C的方程為.

（2）由，代入①得，解得，

代入切線l得，所以點，

設，則，所以.

依題意，將，代入直線l，

得，

所以AN的中點為，

又，所以，

所以AN的中點M在拋物線C上.

由拋物線的定義可知，當T為拋物線的焦點時，

等于M到拋物線準線的距離，所以.

所以存在點，使得恒為定值1.