Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2＝2px（p＞0）及點M（2，0），動直線l過點M交拋物線于A，B兩點，當l垂直于x軸時，AB＝4.

（1）求p的值；

（2）若l與x軸不垂直，設線段AB中點為C，直線l1經過點C且垂直于y軸，直線l2經過點M且垂直于直線l，記l1，l2相交于點P，求證：點P在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）p＝1（2）證明見解析

【解析】

（1）根據AB＝4，知拋物線y2＝2px（p＞0）過點（2，2），代入計算得到答案.

（2）由題意設直線l的方程為：y＝k（x﹣2），且k≠0，點A（x1，y1），B（x2，y2），聯立方程得到y1+y2，y1y2＝﹣4，根據直線方程得到P（1，），得到答案.

（1）當直線l過點M（2，0），且垂直于x軸時，

由AB＝4，知拋物線y2＝2px（p＞0）過點（2，2），

代入拋物線方程，得4＝2p×2，解得p＝1；

（2）證明：由題意設直線l的方程為：y＝k（x﹣2），且k≠0，

點A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立，消去x，化簡得ky2﹣2y﹣4k＝0，

由根與系數的關系得y1+y2，y1y2＝﹣4；

又點C在直線AB上，則yC，所以直線l1的方程為y；

又直線l2過點M且與直線l垂直，則直線l2的方程為y（x﹣2）；

聯立，解得，所以點P（1，），

所以點P在定直線x＝1上.