【題目】已知函數
.
（1）當
時，討論函數
的單調性；
（2）若存在
，使得
成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）單調遞減區間為
，
；單調遞增區間為
，
.（2）
【解析】
（1）根據題意，代入
，求導，利用導數的正負求解單調區間
（2）根據題意，對函數求導，因為存在
，使得
成立，所以
在區間
上存在極值點，轉化成
在區間上有解，再轉化成
有解，令
，根據導數求解
的值域，即可求解參數取值范圍.
（1）由
，
得
.
令，則
，
解得
，
，
.
當
時，
，單調遞減；
當
時，
，單調遞增；
當
時，，單調遞減；
當
時，，單調遞增.
綜上，函數的單調遞減區間為，；
單調遞增區間為，.
（2）由已知可得
.
因為存在，使得成立，
所以在區間上存在極值點，所以在區間上有解.
所以
，即有解.
令，則
，
當
時，
恒成立，
所以在上單調遞增，所以
.
又
，
，所以
，
所以
.
即實數
的取值范圍是.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是圓
：
上的一動點，點
，點
在線段
上，且滿足
.
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）設曲線與
軸的正半軸，
軸的正半軸的交點分別為點
，
，斜率為
的動直線
交曲線于
、
兩點，其中點在第一象限，求四邊形
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知如圖1直角梯形
，
，
，
，
，E為
的中點，沿
將梯形折起（如圖2），使平面
平面
.
（1）證明：
平面；
（2）在線段
上是否存在點F，使得平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值為
，若存在，求出點F的位置；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2＝2px（p＞0）及點M（2，0），動直線l過點M交拋物線于A，B兩點，當l垂直于x軸時，AB＝4.
（1）求p的值；
（2）若l與x軸不垂直，設線段AB中點為C，直線l1經過點C且垂直于y軸，直線l2經過點M且垂直于直線l，記l1，l2相交于點P，求證：點P在定直線上.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知常數
，數列
的前
項和為
，
且
.
（1）求證：數列為等差數列；
（2）若
，且數列
是單調遞增數列，求實數
的取值范圍；
（3）若
，數列
滿足：
對于任意給定的正整數
，是否存在
，使
？若存在，求
的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正方體
的棱長為
，動點
在線段
上，
、
分別是
、
的中點，則下列結論中正確的是______________.
①
與
所成角為
；
②
平面
；
③存在點，使得平面
平面
；
④三棱錐
的體積為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】教育部日前出臺《關于普通高中學業水平考試的實施意見》，根據意見，學業水平考試成績以“等級”或“合格、不合格”呈現.計入高校招生錄取總成績的學業水平考試的3個科目成績以等級呈現，其他科目一般以“合格、不合格”呈現.若某省規定學業水平考試中歷史科各等級人數所占比例依次為：A等級
，B等級
，C等級，D、E等級共
.現采用分層抽樣的方法，從某省參加歷史學業水平考試的學生中抽取100人作為樣本，則該樣本中獲得A或B等級的學生中一共有（ ）
A.30人B.45人C.60人D.75人
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某面包店推出一款新面包，每個面包的成本價為4元，售價為10元，該款面包當天只出一爐（一爐至少15個，至多30個），當天如果沒有售完，剩余的面包以每個2元的價格處理掉.為了確定這一爐面包的個數，該店記錄了這款新面包最近30天的日需求量（單位：個），整理得下表：
日需求量 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
頻數 | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 |
（1）根據表中數據可知，頻數
與日需求量
（單位：個）線性相關，求關于的線性回歸方程；
（2）以30天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率，若該店這款新面包出爐的個數為24，記當日這款新面包獲得的總利潤為
（單位：元）.
（i）若日需求量為15個，求；
（ii）求的分布列及其數學期望.
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