Question

2．已知函數f（x）=x²+ax-3，g（x）=$\frac{klnx}{x}$，當a=2時，f（x）與g（x）的圖象在x=1處的切線相同．
（1）求k的值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），若F（x）存在零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據條件f（x）與g（x）的圖象在x=1處的切線相同，可得f'（1）=g'（1），從而可求出k的值．
（2）將條件F（x）存在零點，即F（x）=0，通過參變量分離轉化為方程$a=\frac{4lnx-{x}^{3}+3x}{{x}^{2}}$有實根，然后構造函數，令h（x）=$\frac{4lnx-{x}^{3}+3x}{{x}^{2}}$，通過求導研究函數h（x）的單調性及最值得到h（x）的值域，也就是a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=x²+2x-3，f'（x）=2x+2，則f（1）=0，f'（1）=4，
故f（x）在x=1處的切線方程為y=4x-4，
又因為f（x）和g（x）的圖象在x=1處的切線相同，g'（x）=$\frac{k（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
所以g'（1）=l=4．
（2）因為F（x）=f（x）-g（x）有零點，
所以F（x）=${x}^{2}+ax-3-\frac{4lnx}{x}$=0，即$a=\frac{4lnx-{x}^{3}+3x}{{x}^{2}}$有實根．
令h（x）=$\frac{4lnx-{x}^{3}+3x}{{x}^{2}}$=$\frac{4lnx}{{x}^{2}}-x+\frac{3}{x}$，則h'（x）=$\frac{4x-8xlnx}{{x}^{4}}-1-\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{4-8lnx-{x}^{3}-3x}{{x}^{3}}$，
令φ（x）=4-8lnx-x³-3x，則φ'（x）=$-\frac{8}{x}-3{x}^{2}-3$＜0恒成立，故φ（x）在（0，+∞）上單調遞減，
又因為φ（1）=0，所以當x＞1時，φ（x）＜0，當0＜x＜1時，φ（x）＞0．
所以當x＞1時，h'（x）＜0，當0＜x＜1時，h'（x）＞0．
故h（x）在（1，+∞）上為減函數，在（0，1）上為增函數，即h（x）_max=h（1）=2．
當x→+∞時，h（x）→-∞，當x→0⁺時，h（x）→-∞．
根據函數的大致圖象可知a≤2．

點評 本題第1問屬于基礎題，兩函數圖象在同一點的切線相同，則在該點處的導數相等，即可求出參數的值；第2問函數有零點，則對應方程有根，再通過參變量分離，從而將求參數的取值范圍轉化為求函數的值域．