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【題目】已知f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,且f(x)+g(x)=3x
(1)求 f(x),g(x);
(2)若對于任意實數t∈[0,1],不等式f(2t)+ag(t)<0恒成立,求實數a的取值范圍;
(3)若存在m∈[﹣2,﹣1],使得不等式af(m)+g(2m)<0成立,求實數a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵f(x)、g(x)分別是奇函數、偶函數,

∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),

令x取﹣x,代入f(x)+g(x)=3x ①,

f(﹣x)+g(﹣x)=3x,即﹣f(x)+g(x)=3x ②,

由①②解得,f(x)= ,g(x)=


(2)解:由(1)可得,不等式f(2t)+ag(t)<0為:

不等式 +a <0,

化簡得,(3t﹣3t)+a<0,即a<﹣3t+3t

∵任意實數t∈[0,1],不等式f(2t)+ag(t)<0恒成立,

且函數y=﹣3t+3t在[0,1]上遞減,∴y≥ ,即a<

則實數a的取值范圍是(﹣∞,


(3)解:由(1)可得,不等式af(m)+g(2m)<0為:

a + <0,

∵m∈[﹣2,﹣1],∴ ,則化簡得,

a> = =

令t=3m﹣3m,∵m∈[﹣2,﹣1],∴t∈[ ],

則a>

∴存在m∈[﹣2,﹣1],使得不等式af(m)+g(2m)<0成立等價于:

存在t∈[ ],使得不等式a> 成立,

=2 ,當且僅當 ,即t= 時取等號,

∴函數y= 在[ ]遞增,則函數y= 的最小值是

即a> ,故實數a的取值范圍是( ,+∞)


【解析】(1)將﹣x代入已知等式,利用函數f(x)、g(x)的奇偶性,得到關于f(x)與g(x)的又一個方程,將二者看做未知數解方程組,解得f(x)和g(x);(2)由(1)和t的范圍化簡不等式f(2t)+ag(t)<0,分離出a后構造函數,由指數函數的單調性求出最小值,根據恒成立求出實數a的取值范圍;(3)由(1)和m的范圍化簡不等式af(m)+g(2m)<0,分離出a后構造函數,利用換元法法,由函數的單調性求出最小值,根據存在性問題求出實數a的取值范圍;
【考點精析】掌握函數奇偶性的性質是解答本題的根本,需要知道在公共定義域內,偶函數的加減乘除仍為偶函數;奇函數的加減仍為奇函數;奇數個奇函數的乘除認為奇函數;偶數個奇函數的乘除為偶函數;一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇.

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