【題目】已知f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,且f(x)+g(x)=3x .
(1)求 f(x),g(x);
(2)若對于任意實數t∈[0,1],不等式f(2t)+ag(t)<0恒成立,求實數a的取值范圍;
(3)若存在m∈[﹣2,﹣1],使得不等式af(m)+g(2m)<0成立,求實數a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)、g(x)分別是奇函數、偶函數,
∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),
令x取﹣x,代入f(x)+g(x)=3x ①,
f(﹣x)+g(﹣x)=3﹣x,即﹣f(x)+g(x)=3﹣x ②,
由①②解得,f(x)= ,g(x)=
(2)解:由(1)可得,不等式f(2t)+ag(t)<0為:
不等式 +a
<0,
化簡得,(3t﹣3﹣t)+a<0,即a<﹣3t+3﹣t,
∵任意實數t∈[0,1],不等式f(2t)+ag(t)<0恒成立,
且函數y=﹣3t+3﹣t在[0,1]上遞減,∴y≥ ,即a<
則實數a的取值范圍是(﹣∞, )
(3)解:由(1)可得,不等式af(m)+g(2m)<0為:
a +
<0,
∵m∈[﹣2,﹣1],∴ ,則化簡得,
a> =
=
,
令t=3﹣m﹣3m,∵m∈[﹣2,﹣1],∴t∈[ ,
],
則a> ,
∴存在m∈[﹣2,﹣1],使得不等式af(m)+g(2m)<0成立等價于:
存在t∈[ ,
],使得不等式a>
成立,
∵ =2
,當且僅當
,即t=
時取等號,
∴函數y= 在[
,
]遞增,則函數y=
的最小值是
,
即a> ,故實數a的取值范圍是(
,+∞)
【解析】(1)將﹣x代入已知等式,利用函數f(x)、g(x)的奇偶性,得到關于f(x)與g(x)的又一個方程,將二者看做未知數解方程組,解得f(x)和g(x);(2)由(1)和t的范圍化簡不等式f(2t)+ag(t)<0,分離出a后構造函數,由指數函數的單調性求出最小值,根據恒成立求出實數a的取值范圍;(3)由(1)和m的范圍化簡不等式af(m)+g(2m)<0,分離出a后構造函數,利用換元法法,由函數的單調性求出最小值,根據存在性問題求出實數a的取值范圍;
【考點精析】掌握函數奇偶性的性質是解答本題的根本,需要知道在公共定義域內,偶函數的加減乘除仍為偶函數;奇函數的加減仍為奇函數;奇數個奇函數的乘除認為奇函數;偶數個奇函數的乘除為偶函數;一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】小王在年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比上一年增加支出2萬元,假定該車每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25-x萬元(國家規定大貨車的報廢年限為10年).
(1)大貨車運輸到第幾年年底,該車運輸累計收入超過總支出?
(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知直線l: (t為參數).以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的坐標方程為ρ=2cosθ.
(1)將曲線C的極坐標方程化為直坐標方程;
(2)設點M的直角坐標為(5, ),直線l與曲線C的交點為A,B,求|MA||MB|的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知集合M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A是集合N中任意一點,O為坐標原點,則直線OA與y=x2+1有交點的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,為了得到這個函數的圖象,只要將y=sinx(x∈R)的圖象上所有的點( )
A.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的
倍,縱坐標不變
B.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變
C.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的
倍,縱坐標不變
D.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】過雙曲線x2﹣ =1的右支上一點P,分別向圓C1:(x+4)2+y2=4和圓C2:(x﹣4)2+y2=1作切線,切點分別為M,N,則|PM|2﹣|PN|2的最小值為( )
A.10
B.13
C.16
D.19
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