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1.已知向量$\overrightarrow{a}$=(2cosx,1),$\overrightarrow{b}$=(cosx,$\sqrt{3}$sin2x+m),f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1.
(1)求f(x)在x∈[0,π]上的增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{6}$]時(shí),-4≤f(x)≤4恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)利用向量積的關(guān)系,建立f(x)的關(guān)系式,化為y=Asin(ωx+φ)的形式,將內(nèi)層函數(shù)放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;x∈[0,π],k去不同的值,可得在x∈[0,π]的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{6}$]時(shí),求出f(x)的取值最大值和最小值,即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解答 解:(1)由題意:向量$\overrightarrow{a}$=(2cosx,1),$\overrightarrow{b}$=(cosx,$\sqrt{3}$sin2x+m)
f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1.
=2cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+m-1
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+m-1
=2sin(2x$+\frac{π}{6}$)+m
∵$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$是單調(diào)遞增區(qū)間,
解得:$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$kπ+\frac{π}{6}$(k∈Z)
∵x∈[0,π]
∴當(dāng)k=0時(shí),$0≤x≤\frac{π}{6}$是單調(diào)遞增區(qū)間,
當(dāng)k=1時(shí),$\frac{2π}{3}≤x≤π$是單調(diào)遞增區(qū)間,
故得f(x)在x∈[0,π]上的增區(qū)間是[0,$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$,π].
(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x$+\frac{π}{6}$)+m
當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{6}$]時(shí),2x$+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{2}$]
當(dāng)2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí),函數(shù)f(x)取值最大值為2+m.
當(dāng)2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時(shí),函數(shù)f(x)取值最小值為1+m.
要使-4≤f(x)≤4恒成立,
需要滿足:$\left\{\begin{array}{l}{-4≤1+m}\\{2+m≤4}\end{array}\right.$成立.
解得:-5≤m≤2.
故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-5,2].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積的計(jì)算和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力以及三角函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用解決恒成立問題.屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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11.Sn為{an}前n項(xiàng)和對(duì)n∈N*都有Sn=1-an,若bn=log2an,$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}<m$恒成立,則m的最小值為1.

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12.下列命題中真命題是(  )
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9.下列說法中,正確的是(  )
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16.已知鈍角△ABC的三邊a=t-1,b=t+1,c=t+3,求t的取值范圍(3,7).

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6.已知$\overrightarrow{a}$=(sinωx+cosωx,$\sqrt{3}$cosωx),$\overrightarrow{b}$=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0),函數(shù)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$,若f(x)的最小正周期為π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,若f(A)=1,a=$\sqrt{21}$,b+c=9,求△ABC的面積.

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(1)求證:{an}是等比數(shù)列;
(2)記bn=anlg|an|(n∈N*),當(dāng)a=-$\frac{{\sqrt{7}}}{3}$時(shí),是否存在正整數(shù)m,使得對(duì)于任意正整數(shù)n,都有bn≥bm?如果存在,求出m的值;如果不存在,說明理由.

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10.已知y=f(x)為二次函數(shù),且f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5,
(1)求此二次函數(shù)解析式.
(2)求函數(shù)f(x)在x∈[0,5]上的最大、最小值.

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11.lg$\frac{1}{4}$-lg25=(  )
A.-2B.0C.1D.2

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