Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x+m），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1．
（1）求f（x）在x∈[0，π]上的增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{6}$]時(shí)，-4≤f（x）≤4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量積的關(guān)系，建立f（x）的關(guān)系式，化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；x∈[0，π]，k去不同的值，可得在x∈[0，π]的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{6}$]時(shí)，求出f（x）的取值最大值和最小值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x+m）
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1．
=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+m-1
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+m-1
=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）+m
∵$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$是單調(diào)遞增區(qū)間，
解得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）
∵x∈[0，π]
∴當(dāng)k=0時(shí)，$0≤x≤\frac{π}{6}$是單調(diào)遞增區(qū)間，
當(dāng)k=1時(shí)，$\frac{2π}{3}≤x≤π$是單調(diào)遞增區(qū)間，
故得f（x）在x∈[0，π]上的增區(qū)間是[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）+m
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{6}$]時(shí)，2x$+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
當(dāng)2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取值最大值為2+m．
當(dāng)2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取值最小值為1+m．
要使-4≤f（x）≤4恒成立，
需要滿足：$\left\{\begin{array}{l}{-4≤1+m}\\{2+m≤4}\end{array}\right.$成立．
解得：-5≤m≤2．
故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-5，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積的計(jì)算和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力以及三角函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用解決恒成立問題．屬于中檔題．