Question

已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的三視圖及直觀圖如圖所示，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：

（1）求證：C1B⊥平面ABC；

（2）試在棱CC1（不包含端點C、C1）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB1；

（3）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）E為CC1中點；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明C1B⊥平面ABC；（2）根據(jù)線面垂直的性質，結合直角三角形的邊長關系即可確定E的位置；（3）根據(jù)三棱柱ABC－A1B1C1的體積公式即可得到結論．

試題解析：（1）由三視圖可知，AB⊥側面BB1C1C，所以AB⊥BC1，

又BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝

在△BCC1中，由余弦定理得BC1＝，故有BC2＋BC12＝CC12，

所以C1BBC

而BC∩AB＝B，且AB，BC平面ABC

所以C1B⊥平面ABC.

（2）由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE＝A，AB，AE平面ABE

從而B1E⊥平面ABE

且BE平面ABE，故BE⊥EB1，

不妨設CE＝x，則C1E＝2－x

則BE2＝1＋x2－x

又因為∠B1C1C＝，

則B1E2＝x2－5x＋7

在Rt△BEB1中，有（x2－5x＋7）＋（1＋x2－x）＝4

解得x＝1或x＝2（舍去）

故E為CC1的中點時，EA⊥EB1.

（3）由已知可得S△ABC＝AB·BC＝×1×＝

又由（1）知C1B⊥平面ABC，且C1B＝

所以三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝S△ABC·C1B＝

（或利用V＝3VA－CBC1計算體積也可）

考點：空間線面關系，棱柱的體積