Question

已知a，b，c∈R，且三次方程f(x)＝x³－ax²＋bx－c＝0有三個實根x₁，x₂，x₃．

(1)類比一元二次方程根與系數的關系，寫出此方程根與系數的關系；

(2)若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f(x)在x＝α，x＝β處取得極值且－1＜α＜0＜β＜1，試求此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知，得，比較兩邊系數， 　　得．　4分 　　(3)令，要有三個不等的實數根，則函數有一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0．　5分 　　由已知，得有兩個不等的實根， 　　，得．　6分 　　又，，將代入(1)(3)，得．，8分 　　則，且在處取得極大值，在處取得極小值，　10分 　　故要有三個不等的實數根，則必須　12分 　　得．　14分 　　本題考查學生類比探究函數與方程與圖形的轉化分析：(1)聯想二次方程根與系數關系，寫出三次方程的根與系數．(2)三次函數的問題往往都轉化為二次方程來研究．