Question

已知過A（0，1）和B（4，a）且與x軸相切的圓只有一個，求a的值及圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：用待定系數法求圓的方程，先設出圓的一般方程，因為點A（0，1）和B（4，a）在圓上，滿足圓的方程，把兩點坐標代入圓方程，又因為圓與x軸相切，所以圓心到x軸的距離等于半徑，而這樣的圓只有一個，所以由前面幾個條件化簡得到的方程有唯一解，這樣就可求出參數的值，得到a的值和圓的方程．
解答：解：設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵點A、B在此圓上，∴E+F+1=0，①，4D+aE+F+a²+16=0②
又知該圓與x軸（直線y=0）相切，聯立方程
得，x²+Dx+F=0∴△=0，即D²-4F=0，③
由①、②、③消去E、F可得：，④
由題意方程④有唯一解，當a=1時，D=-4，E=-5，F=4；
當a≠1時由△=0可解得a=0，這時D=-8，E=-17，F=16．
綜上可知，所求a的值為0或1，當a=0時圓的方程為x²+y²-8x-17y+16=0；當a=1時，圓的方程為x²+y²-4x-5y+4=0．
點評：本題主要考查待定系數法求圓的方程，一般可通過已知條件，設出所求方程，再尋求方程組進行求解．