Question

已知過A（0，1）和B（4，a）且與x軸相切的圓只有一個，求a的值及圓的方程．

Answer 1

設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵點A、B在此圓上，∴E+F+1=0，①，4D+aE+F+a²+16=0②
又知該圓與x軸（直線y=0）相切，聯立方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0 y=0

得，x²+Dx+F=0∴△=0，即D²-4F=0，③
由①、②、③消去E、F可得：

1

4

(1-a)D2+4D+a2-a+16=0，④
由題意方程④有唯一解，當a=1時，D=-4，E=-5，F=4；
當a≠1時由△=0可解得a=0，這時D=-8，E=-17，F=16．
綜上可知，所求a的值為0或1，當a=0時圓的方程為x²+y²-8x-17y+16=0；當a=1時，圓的方程為x²+y²-4x-5y+4=0．