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已知過A(0,1)和B(4,a)且與x軸相切的圓只有一個,求a的值及圓的方程.
設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵點A、B在此圓上,∴E+F+1=0,①,4D+aE+F+a2+16=0②
又知該圓與x軸(直線y=0)相切,聯立方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
y=0

得,x2+Dx+F=0∴△=0,即D2-4F=0,③
由①、②、③消去E、F可得:
1
4
(1-a)D2+4D+a2-a+16=0
,④
由題意方程④有唯一解,當a=1時,D=-4,E=-5,F=4;
當a≠1時由△=0可解得a=0,這時D=-8,E=-17,F=16.
綜上可知,所求a的值為0或1,當a=0時圓的方程為x2+y2-8x-17y+16=0;當a=1時,圓的方程為x2+y2-4x-5y+4=0.
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