Question

3．已知函數f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$（e為自然對數的底數，e=2.71828…）．
（1）證明：函數f（x）為奇函數；
（2）判斷并證明函數f（x）的單調性，再根據結論確定f（m²-m+1）+f（-$\frac{3}{4}$）與0的大小關系；
（3）是否存在實數k，使得函數f（x）在定義域[a，b]上的值域為[ke^a，ke^b]．若存在，求出實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據奇函數的定義，可判斷函數f（x）為奇函數；
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$在R上為增函數，利用導數法可證明結論，進而判斷出f（m²-m+1）+f（-$\frac{3}{4}$）≥0；
（3）若函數f（x）在定義域[a，b]上的值域為[ke^a，ke^b]．則$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=ke^x在R上有兩個不等實根，進而得到實數k的取值范圍．

解答 解：（1）證明：函數f（x）定義域為R，…（1分）
對于任意的x∈R，都有f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=$\frac{1-{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$=-f（x），
所以函數f（x）為奇函數…（4分）
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$在R上為增函數，理由如下：
∵f′（x）=$\frac{{2e}^{x}}{{（e}^{x}+1）^{2}}$＞0恒成立，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$在R上為增函數，…（7分）
∵${m^2}-m+1={（m-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$
∴f（m²-m+1）≥f（-$\frac{3}{4}$）=-f（$\frac{3}{4}$），
∴f（m²-m+1）+f（-$\frac{3}{4}$）≥0…（10分）
（3）∵f（x）為R上的增函數且函數f（x）在定義域[a，b]上的值域為[ke^a，ke^b]．
∴k＞0且$\left\{\begin{array}{l}f（a）={ke}^{a}\\ f（b）={ke}^{b}\end{array}\right.$，
$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=ke^x在R上有兩個不等實根；…（12分）
令t=e^x，t＞0且單調增，問題即為方程kt²+（k-1）t+1=0在（0，+∞）上有兩個不等實根，
設h（t）=kt²+（k-1）t+1，
則$\left\{\begin{array}{l}（k-1）^{2}-4k＞0\\-\frac{k-1}{k}＞0\\ h（0）=1＞0\end{array}\right.$，解得：0＜k＜3-2$\sqrt{2}$…（16分）

點評 本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，函數的定義域值域，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．