Question

已知

a

，

b

是非零向量且滿足(

a

-2

b

)⊥

a

，(

b

-2

a

)⊥

b

，則

a

與

b

的夾角是

π

3

．

Answer 1

分析：根據垂直向量的數量積為零，結合題意建立關于

a

 、

b

的方程組，解出|

a

 |=|

b

|且

a

•

b

=

1

2

|

a

 |²．再根據平面向量的夾角公式加以計算，可得

a

與

b

的夾角大小．

解答：解：∵(

a

-2

b

)⊥

a

，(

b

-2

a

)⊥

b

，
∴

( a -2 b )• a =0 ( b -2 a )• b =0

，化簡得

a

2=

b

2=2

a

•

b

可得|

a

 |=|

b

|，

a

•

b

=

1

2

|

a

 |²
因此，設

a

與

b

的夾角為α，則有cosα=

a • b

|a| • |b|

=

1 2 |a| 2

|a| 2

=

1

2

，
∵α∈（0，π），∴α=

π

3

．
故答案為：

π

3

點評：本題給出向量

a

 、

b

的滿足的條件，求

a

與

b

的夾角大小．著重考查了向量數量積的公式及其運算性質、兩個向量的夾角求法等知識，屬于中檔題．