Question

在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求證：平面PAC；

（2）若，求PB與AC所成角的余弦值；

（3）若PA=，求證：平面PBC⊥平面PDC

 

Answer 1

【答案】

（1）由線線平行證得 （2） （3）求得從而證明.

【解析】

試題分析：（1）證：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

所以AC⊥BD.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD. 所以PA⊥BD，又AC∩PA=A

所以BD⊥平面PAC.   

（2）解：過B作BM//AC交DA延長線于M，連接PM ∠PBM或其補(bǔ)角為所求

因?yàn)锽M//AC AM//BC 所以四邊形MACB為平行四邊形 所以BM=AC=2，PB=PM=,所以

 .

(3) 作BH⊥PC,連接HD

PA⊥平面ABCD,AD="AB" PB=PD,又CD="CB" PC="PC" △PBC≌△PDC

BH⊥PC HD⊥PC 因此∠BHD為二面角B-PC-D的平面角

因?yàn)锳P= BC="2" 有BH=

 所以 面PBC⊥面PDC. 

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；用空間向量求直線間的夾角、距離．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系的垂直關(guān)系的判斷、異面直線所成的角、用空間向量的方法求解直線的

夾角、距離等問題，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算

求解能力.