Question

已知f（x）=ax²-2ax+2+b=0（a≠0）在[2，3]上的最大值為5，最小值為2．
（1）求a，b的值；
（2）當b＞1時，f（x）＞-4x+m在[2，4]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據題意對a進行分類討論，根據二次函數的性質和已知函數的最大和最小值，列方程組分別求得a和b．
（2）根據（1）求得函數f（x）的解析式，根據區間f（x）的最小值確定m的范圍．

解答： 解：（1）根據題意知函數f（x）的對稱軸為x=1，
①當a＞0時，函數的開口方向向上，在區間[2，3]上單調增，則有

f(2)=4a-4a+2+b=2 f(3)=9a-6a+2+b=5

，求得a=1，b=0，
②當a=0函數沒有最大和最小值，不符合題意．
③當a＜0時，函數的開口方向向下，在區間[2，3]上單調減，則有

f(2)=4a-4a+2+b=5 f(3)=9a-6a+2+b=2

，求得a=-1，b=3．
（2）由（1）知，當b＞1時求得a=-1，b=3．
則函數f（x）的解析式為f（x）=-x²+2x+5，在區間[2，4]上單調減，圖象的最低點為（4，-3），
要使不等式恒成立需g（x）=-4x+m，在區間[2，4]上在點（4，-3）的下方，則有-16+m＜-3，
求得m＜13．

點評：本題主要考查了二次函數的性質．解題過程中對函數的對稱軸，開口方向及區間的單調性靈活運用．