Question

已知函數f（x）=|x-1|+|x-2|
（1）求f（x）＜4的解集；
（2）若f（x）≥|3m-1|對x∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數恒成立問題

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由條件根據絕對值的意義，求得f（x）＜4的解集．
（2）由題意可得|3m-1|≤f（x）_min，而由絕對值的意義可得f（x）_min=1，可得|3m-1|≤1，由此求得m的范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=|x-1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到1、2對應點的距離之和，
而-0.5對應點到1、2對應點的距離之和正好等于4，3.5對應點到1、2對應點的距離之和正好等于4，
故f（x）＜4的解集為（-0.5，3.5）．
（2）若f（x）≥|3m-1|對x∈R恒成立，則|3m-1|≤f（x）_min，
而由絕對值的意義可得f（x）_min=1，∴|3m-1|≤1，即-1≤3m-1≤1，求得0≤m≤

2

3

．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．