Question

已知中心在原點,焦點在x軸上的橢圓離心率為,且經過點,過橢圓的左焦點作直線交橢圓于A、B兩點，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB。 
（1）求橢圓E的方程
（2）現將橢圓E上的點的縱坐標保持不變，橫坐標變為原來的一半，求所得曲線的焦點坐標和離心率
（3）是否存在直線，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線的方程。若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）；（2）焦點為（0，）,離心率；
（3）或.

本試主要考查了橢圓的方程和直線與橢圓位置關系的 運用。
解：(1)設橢圓E的方程，由條件得解得，橢圓E的方程……………4分
（2）由題意，變換后的曲線的方程為，所以焦點為（0，）,離心率……………7分
（3）當軸時，A(，2)，B(，-2)，此時不滿足；
當AB與x軸不垂直時，設直線AB的斜率是k，且直線過左焦點C(，0)，則直線方程是。
根據題意有，設則=0。
聯立方程 得
，，
==0
得，經檢驗滿足
所以存在直線AB滿足條件，直線AB的方程是或。……16分