Question

已知各項均不相等的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₃＝15，且a₃＋1為a₁＋1和a₇＋1的等比中項．
(1)求數列{a_n}的通項公式與前n項和S_n；
(2)設T_n為數列{}的前n項和，問是否存在常數m，使T_n＝m[＋]，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）a_n＝2n＋1      S_n＝n(n＋2)
（2）數m＝，見解析

解：(1)設數列{a_n}的公差為d，由已知，可得
S₃＝a₁＋a₂＋a₃＝15，得a₂＝a₁＋d＝5，
由a₃＋1為a₁＋1和a₇＋1的等比中項，
可得(6＋d)²＝(6－d)×(6＋5d)，化簡得d²－2d＝0，
解得d＝0(不合題意，舍去)或d＝2，
當d＝2時，a₁＝3，其通項公式為a_n＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，前n項和S_n＝n(n＋2)．
(2)由(1)知數列{a_n}的前n項和為S_n＝n(n＋2)，
則有＝＝ (－)，
T_n＝ (1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝ (1＋－－)＝ [＋]．
故存在常數m＝，使得T_n＝m[＋]成立．