Question

已知：菱形ABCD對角線AC與BD相交于O．
（1）試用向量方法證明：AC⊥BD．
（2）設

AB

=

a

，

AD

=

b

，若E是線段OA的中點，F在線段AD上使AF=3FD，試用

a

與

b

表示

CF

，

EF

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：（1）設

AB

=

a

，

AD

=

b

，根據菱形ABCD中AB=AD，|

a

|=|

b

|，可得

AC

•

BD

=

b

²-

a

²=|

b

|²-|

a

|²=0，根據向量垂直的充要條件，可得AC⊥BD．
（2）根據E是線段OA的中點，F在線段AD上使AF=3FD，根據向量共線的充要條件，向量加法的三角形法則，可用

a

與

b

表示

CF

，

EF

．

解答： 解：（1）設

AB

=

a

，

AD

=

b

，
∵菱形ABCD中AB=AD，
∴|

a

|=|

b

|，
∵

AC

=

b

+

a

，

BD

=

b

-

a

，
∴

AC

•

BD

=

b

²-

a

²=|

b

|²-|

a

|²=0，
∴

AC

⊥

BD

，
即AC⊥BD．
（2）∵E是線段OA的中點，AF=3FD，
∴

CF

=

1

4

CA

+

3

4

CD

=-

1

4

（

b

+

a

）-

3

4

a

=-

a

-

1

4

b

，

EF

=

EA

+

AF

=-

1

4

（

b

+

a

）+

3

4

b

=-

1

4

a

+

1

2

b

．

點評：本題考查的知識點是向量垂直的充要條件，向量數量積的運算法則，向量共線的充要條件，向量加法的三角形法則，是向量的綜合應用，難度中檔．