Question

已知定點P(-2，-1)和直線l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R).

求證：不論λ取何值時，點P到直線l的距離不大于.

Answer 1

剖析：若直接運用點到直線的距離公式，將P到l的距離d化為關于λ的函數，只需證明該函數的最大值是.或利用直線系方程，結合圖形也可獲證.

證法一：由點線距離公式，得

    d=

    =.

    又∵d²=

    =13-≤13,

    ∴d≤.

證法二：將原方程化為(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,顯然知l恒過直線x+y-2=0與3x+2y-5=0的交點Q(1,1)，如圖，從幾何直觀可知，只需證明d≤|PQ|.

    由|PQ|==,

∴原命題得證.