Question

已知定點P（2，4）和圓O：x²+y²=4．
（Ⅰ）求過點P與圓O相切的切線方程．
（Ⅱ）直線l經過點P且與圓相交于A，B兩點，若|AB|=2

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由于圓O：x²+y²=4的圓心為（ 0，0），半徑等于2，顯然有一條切線為x=2．當切線的斜率存在時，用點斜式設出直線方程，根據圓心到切線的距離d=半徑r，求出斜率的值，
即可求得圓的切線方程．
（2）由題意可得，直線l的斜率存在，用點斜式設出直線方程，根據圓心到切線的距離d=

r2-( 2 )2

=

2

，求出斜率的值，即可求得直線l的方程．

解答：解：（1）由于圓O：x²+y²=4的圓心為（ 0，0），半徑等于2，顯然有一條切線為x=2．
當切線的斜率存在時，∵點P（2，4）不在圓O上，
∴切線PT的直線方程可設為y=k（x-2）+4，
根據圓心到切線的距離d=半徑r，
∴

|-2k+4|

1+k2

=2，解得 k=

3

4

，所以圓的切線方程為 y=

3

4

(x-2)+4，即3x-4y+10=0，
綜上可得，圓的切線方程為3x-4y+10=0 或x=2．
（2）由題意可得，直線l的斜率存在，設直線l的方程為 y=k（x-2）+4，即 kx-y+4-2k=0．
由弦長公式可得圓心到直線l的距離為 d=

r2-( 2 )2

=

2

，即

|0-0+4-2k|

k2+1

=

2

，解得 k=1，或 k=7．
故直線l的方程為 y=x+2，或y=7x-10，即 x-y+2=0，或 7x-y-10=0．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于中檔題．