Question

已知定點A（-2，-4），過點A作傾斜角為45°的直線l，交拋物線y²=2px（p＞0）于B、C兩點，且|BC|=2

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．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的拋物線上是否存在點D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）寫出直線l的方程，和拋物線方程聯立后由弦長公式列式求p得值，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）假設存在點D，使得|DB|=|DC|成立，由此得到k_DE=-

1

k1

=-1，由中點坐標公式求出D的坐標，代入拋物線方程中有解，從而得到答案．

解答：解：（1）直線l方程為y=x-2，將其代入y²=2px，并整理，得
x²-2（2+p）x+4=0…①，
∵p＞0，∴△=4（2+p）²-16＞0，
設B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），∴x₁+x₂=4+2p，x₁•x₂=4，
∵|BC|=2

10

，而|BC|=

1+k2

|x₁-x₂|，
∴2

2

p2+4p

=2

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，解得p=1，∴拋物線方程y²=2x．
（2）假設在拋物線y²=2x上存在點D（x₃，y₃），使得|DB|=|DC|成立，記線段BC中點為E（x₀，y₀），
則|DB|=|DC|?DE⊥BC?k_DE=-

1

k1

=-1，
當p=1時，①式成為x²-6x+4=0，
∴x₀₌

x1+x2

2

=3，y₀=x₀-2=1，
∴點D（x₃，y₃）應滿足

y32=2x3 y3-1 x3-3 =-1

，解得

x3=2 y3=2

或

x3=8 y3=-4

∴存在點D（2，2）或（8，-4），使得|DB|=|DC|成立．

點評：本題考查了拋物線方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法，訓練了弦長公式的用法，是有一定難度題目．