Question

18．已知點B為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左準線與x軸的交點，點A坐標為（0，b），若滿足$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{AB}$點P在雙曲線上，則雙曲線的離心率為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 求得B的坐標，設P（x₀，y₀），運用向量的坐標運算，求得x₀，y₀，代入雙曲線的方程化簡，再由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得B（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），
由$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{AB}$，
設P（x₀，y₀），
可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}-0=3（-\frac{{a}^{2}}{c}-0）}\\{{y}_{0}-b=3（0-b）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{3{a}^{2}}{c}}\\{{y}_{0}=-2b}\end{array}\right.$，
代入雙曲線的方程可得$\frac{\frac{9{a}^{4}}{{c}^{2}}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{b}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即$\frac{9{a}^{2}}{{c}^{2}}$=5，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求解，同時考查向量的坐標運算，由已知得出關(guān)于a，c的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．