Question

19．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中將底面為直角三角形，且側棱與底面垂直的棱柱稱為塹堵，將底面為矩形的棱臺稱為芻童．在如圖所示的塹堵ABM-DCP與芻童的組合體中AB=AD，A₁B₁=A₁D₁．棱臺體積公式：V=$\frac{1}{3}$（S′+$\sqrt{S′S}$+S）h，其中S′，S分別為棱臺上、下底面面積，h為棱臺高．
（Ⅰ）證明：直線BD⊥平面MAC；
（Ⅱ）若AB=1，A₁D₁=2，MA=$\sqrt{3}$，三棱錐A-A₁B₁D₁的體積V=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求該組合體的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AD⊥MA，推出MA⊥平面ABCD，得到MA⊥BD．結合BD⊥AC，證明BD⊥平面MAC．
（Ⅱ）設芻童ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為h，利用幾何體的體積公式，轉化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：由題可知ABM-DCP是底面為直角三角形的直棱柱，
∴AD⊥平面MAB，
又MA?平面MAB，∴AD⊥MA，
又MA⊥AB，AD∩AB=A，AD，AB?平面ABCD，
∴MA⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，
∴MA⊥BD．
又AB=AD，∴四邊形ABCD為正方形，
∴BD⊥AC，
又MA∩AC=A，MA，AC?平面MAC，
∴BD⊥平面MAC．…（6分）
（Ⅱ）設芻童ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為h，
則三棱錐A-A₁B₁D₁體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×h$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\sqrt{3}$，
故該組合體的體積為V=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1+\frac{1}{3}（{1}^{2}+{2}^{2}+\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}）×\sqrt{3}$=$\frac{17\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，組合體的體積的求法，考查計算能力．