Question

已知橢圓C：＋＝1的離心率為，左焦點(diǎn)為F(－1，0)，

(1)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若，求直線L的方程；

(2)橢圓C上是否存在三點(diǎn)P，E，G，使得S△OPE＝S△OPG＝S△OEG＝？

 

Answer 1

(1) 和； (2) 橢圓上不存在滿足條件的三點(diǎn)

【解析】

試題分析：(1) 由已知 可解得 ，即橢圓方程為 。可得 。根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線即直線方程為，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系。再根據(jù)可求得的值，即可得所求直線方程。 (2)根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線可設(shè)兩點(diǎn)確定的直線為 l，注意討論直線的斜率存在與否，用弦長(zhǎng)公式可得的長(zhǎng)，用點(diǎn)到線的距離公式可得點(diǎn)到線的距離，從而可得三角形面積。同理可得另兩個(gè)三角形面積，聯(lián)立方程可得三點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的平方，根據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo)判斷能否與點(diǎn)構(gòu)成三角形，若能說(shuō)明存在滿足要求的三點(diǎn)否則說(shuō)明不存在。

試題解析：(1)由題意：橢圓的方程為.

設(shè)點(diǎn)，由得直線的方程為．

由方程組消去，整理得，

可得，.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719240228824933/SYS201411171924204920756246_DA/SYS201411171924204920756246_DA.008.png">，

所以

由已知得，解得.

故所求直線的方程為：和

(2) 假設(shè)存在滿足.

不妨設(shè)兩點(diǎn)確定的直線為 l，

(ⅰ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)， 兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，

所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719240228824933/SYS201411171924204920756246_DA/SYS201411171924204920756246_DA.040.png">在橢圓上，

所以.①

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719240228824933/SYS201411171924204920756246_DA/SYS201411171924204920756246_DA.042.png">，

所以|，②

由①、②得，

此時(shí)，.

(ⅱ)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，

由題意知，將其代入得

，

其中，

即，(★)

又，

所以.

因?yàn)辄c(diǎn)到直線l的距離為，

所以.

又，

整理得 ，且符合(★)式．

此時(shí)，

.

綜上所述，，結(jié)論成立．

同理可得：，

解得；.

因此只能從中選取，只能從中選取．

因此只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，

而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)，

與矛盾，

所以橢圓上不存在滿足條件的三點(diǎn)

考點(diǎn)：1橢圓方程；2向量數(shù)量積公式；3直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題；4三角形面積問(wèn)題。