Question

【題目】已知a，b為常數，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有兩個相等實數根．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)當x∈[1,2]時，求f(x)的值域；

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝－x2＋x. (2)

【解析】

(1)由f(2)＝0，方程f(x)＝x有兩個相等實數根,建立關于的二元一次方程組,求出的值；(2)利用二次函數的單調性求f(x)的值域.

解：(1)f(x)＝ax2＋bx.

由f(2)＝0，得4a＋2b＝0，即2a＋b＝0①

方程f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，

即ax2＋(b－1)x＝0有兩個相等實根，且a≠0，

∴b－1＝0，∴b＝1，代入①得a＝－.

∴f(x)＝－x2＋x.

(2)由(1)知f(x)＝－ (x－1)2＋.

顯然函數f(x)在[1,2]上是減函數，

∴x＝1時，ymax＝，x＝2時，ymin＝0.

∴x∈[1,2]時，函數的值域是