Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），e=

1

2

，其中F是橢圓的右焦點，焦距為2，直線l與橢圓C交于點A、B，點A，B的中點橫坐標為

1

4

，且

AF

=λ

FB

（其中λ＞1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；  
（Ⅱ）求實數λ的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由條件可知c=1，a=2，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由

AB

=λ

FB

，可知A，B，F三點共線，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB⊥x軸，則x₁=x₂=1，不合意題意．當AB所在直線l的斜率k存在時，設方程為y=k（x-1）．由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出實數λ的值．

解答： 解：（I）由條件可知c=1，a=2，故b²=a²-c²=3，
橢圓的標準方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）由

AB

=λ

FB

，可知A，B，F三點共線，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若直線AB⊥x軸，則x₁=x₂=1，不合題意．
當AB所在直線l的斜率k存在時，設方程為y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．①
由①的判別式△=64k⁴-4（4k²+3）（4k²-12）=144（k²+1）＞0．
因為

x1+x2= 8k2 4k2+3 x1x2= 4k2-12 4k2+3

，…（6分）
所以x1+x2=

8k2

4k2+3

=

1

2

，所以k2=

1

4

．…（8分）
將k2=

1

4

代入方程①，得4x²-2x-11=0，
解得x=

1±3 5

4

．…（10分）
又因為

AF

=（1-x₁，-y₁），

FB

=（x₂-1，y₂），

AF

=λ

FB

，
λ=

1-x1

x2-2

，解得λ=

3+ 5

2

．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查滿足條件的實數的值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．