Question

對于三次函數。

定義：（1）設是函數的導數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”；

定義：（2）設為常數，若定義在上的函數對于定義域內的一切實數，都有成立，則函數的圖象關于點對稱。

己知，請回答下列問題：

（1）求函數的“拐點”的坐標

（2）檢驗函數的圖象是否關于“拐點”對稱，對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論（不必證明）

（3）寫出一個三次函數，使得它的“拐點”是（不要過程）

 

Answer 1

（1）“拐點”坐標是;

（2）一般地，三次函數的“拐點”是，它就是的對稱中心。

或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數.

（3）或.

【解析】

試題分析：（1）依題意，計算 ，.

由 ，得，再據，可得“拐點”坐標是.

（2）由(1)知“拐點”坐標是.

根據定義（2），考查

=

==，

作出結論：

一般地，三次函數的“拐點”是，它就是的對稱中心.

或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數.

（3）根據（2）寫出或寫出一個具體的函數,如或.

試題解析：（1）依題意，得： ，

。 2分

由 ，即。∴，又 ，

∴的“拐點”坐標是.。 4分

（2）由(1)知“拐點”坐標是.

而=

==，

由定義(2)知：關于點對稱。 8分

一般地，三次函數的“拐點”是，它就是的對稱中心. 10分

（或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數 ）都可以給分

（3）或寫出一個具體的函數,如或. 12分

考點：新定義問題，導數的計算，函數圖象的對稱性.