Question

4．銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是P（萬元）和Q（萬元），它們與投入資金t（萬元）的關系有經驗公式P=3$\sqrt{t}$，Q=t．今將3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，其中對甲種商品投資x（萬元）．求：
（1）經營甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關于x的函數表達式；
（2）怎樣將資金分配給甲、乙兩種商品，能使得總利潤y達到最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）利潤函數為y=甲商品所得的利潤P+乙商品所得的利潤$y=3\sqrt{x}+（3-x）$，其中定義域為x∈[0，3]；
（2）$y=3\sqrt{x}+（3-x）=-{（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^2}+\frac{3}{4}$．由二次函數的性質，得函數的最大值以及對應的x值．

解答 解：（1）根據題意，得$y=3\sqrt{x}+（3-x）$，x∈[0，3]．…（5分）
（2）$y=3\sqrt{x}+（3-x）=-{（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^2}+\frac{3}{4}$．
∵$\frac{3}{2}$∈[0，3]，∴當$\sqrt{x}$=$\frac{3}{2}$時，即x=$\frac{9}{4}$，3-x=$\frac{3}{4}$時，${y_{max}}=\frac{3}{4}$．
即給甲、乙兩種商品分別投資$\frac{9}{4}$萬元、$\frac{3}{4}$萬元可使總利潤達到最大值$\frac{3}{4}$萬元．…（12分）

點評 本題考查了可化為二次函數模型的根式函數的應用，確定函數的解析式是關鍵，本題屬于基礎題．