Question

已知函數f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）（ω＞0）的最小正周期為

π

2

．
（1）寫出函數f（x）的單調遞增區間；
（2）求函數f（x）在區間[0，

π

3

]上的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，由周期公式可求得ω=2，令 2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，可得函數f（x）的單調遞增區間；
（2）先求得-

π

6

≤4x-

π

6

≤

7π

6

，從而可得sin（4x-

π

6

）+

1

2

∈[0，

3

2

]．

解答： 解：（1）f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

∵函數f（x）的最小正周期為

π

2

．即有

2π

2ω

=

π

2

，可得ω=2，
∴f（x）=sin（4x-

π

6

）+

1

2

∴令 2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得

kπ

2

-

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

6

，
∴函數f（x）的單調遞增區間是[

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

π

6

]（k∈Z）；
（2）x∈[0，

π

3

]時，-

π

6

≤4x-

π

6

≤

7π

6

，
∴sin（4x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，sin（4x-

π

6

）+

1

2

∈[0，

3

2

]，
即函數f（x）在區間[0，

π

3

]上的取值范圍是[0，

3

2

]．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基本知識的考查．