Question

設a，b，c為正實數，求證：

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+3abc≥6，并指出等號成立的條件．

Answer 1

分析：先將不等式的左側，第一次使用基本不等式，再將結果第二次使用基本不等式x+y≥2

xy

，化簡整理后，即可得到要證的結論．

解答：證明：因為a，b，c為正實數，由平均不等式可得

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥3

3	1 a3 • 1 b3 • 1 c3

，
即 

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥

3

abc

，所以

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+3abc≥

3

abc

+3abc，
而 

3

abc

+3abc≥2

3 abc •3abc

=6，所以 

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+3abc≥6
等號成立的條件為

1 a = 1 b = 1 c 3 abc =3abc

，得a=b=c=1．

點評：本題兩次使用了基本不等式，要特別注意等號成立的條件．屬于基礎題．