Question

設(shè)a，b，c為正實數(shù)，求證：

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

．

Answer 1

分析：先根據(jù)平均值不等式證明

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥

3

abc

+abc，再證  

3

abc

+abc≥2

3 abc •abc

=2

3

．

解答：證明：因為a，b，c為正實數(shù)，由平均不等式可得

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥3

3	1 a3 • 1 b3 • 1 c3

，
即  

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥

3

abc

，
所以，

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥

3

abc

+abc，
而 

3

abc

+abc≥2

3 abc •abc

=2

3

，
所以，

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

點評：本題考查平均值不等式的應(yīng)用，n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)

a1+a2+…+an

n

  大于或等于它們的幾何平均數(shù) 

n	a1•a2…an

．