Question

（2010•南京模擬）設a，b，c為正實數，求證：a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．

Answer 1

分析：由條件可得 a³+b³+c³≥3

3	a3b3c3

=3abc＞0，再由3abc+

1

abc

≥2=2

3

，從而得到a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．

解答：證明：因為a，b，c為正實數，所以a³+b³+c³≥3

3	a3b3c3

=3abc＞0，當且僅當a=b=c時，等號成立．…（5分）
又3abc+

1

abc

≥2

3

，當且僅當 3abc=

1

abc

時，等號成立．
所以，a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．…（10分）

點評：本題主要考查基本不等式的應用，不等式的基本性質，注意基本不等式的使用條件，并注意檢驗等號成立的條件．