Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分別為PC，CD的中點
（1）求證：平面ABE⊥平面BEF
（2）設PA=a，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）建立坐標系，設PA=a，求出各向量的坐標，利用數量積證明AB⊥BF，AB⊥BE，故而AB⊥平面BEF，于是平面ABE⊥平面BEF；
（2）求出兩平面的法向量，計算法向量的夾角，根據二面角的范圍列不等式組解出a的范圍．

解答 （1）證明：以A為原點，以AB，AD，AP為坐標軸建立空間直角坐標系，設PA=a，
則A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，2，0，），E（1，1，$\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，0），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BE}$=0，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BF}$=0，
∴AB⊥BE，AB⊥BF，又BE∩BF=B，
AB⊥平面BEF，又AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF．
（2）解：由（1）知$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，$\frac{a}{2}$），
設平面BDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{y+\frac{a}{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（-a，-$\frac{a}{2}$，1），
∵PA⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）是平面ABCD的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{\frac{{5a}^{2}}{4}+1}}$，
∵平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{1×\sqrt{\frac{{5a}^{2}}{4}+1}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤a≤$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，空間向量與二面積的計算，屬于中檔題．