Question

已知橢圓經過點，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一正方形.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點，若線段的垂直平分線經過點，求

（為原點）面積的最大值.

 

Answer 1

（1）(2) 面積的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）由已知得，再根據橢圓經過點，代入橢圓方程即可.

(2)設

當直線的斜率為時,可得，由，得到

；

當直線的斜率不為時，將的方程為與橢圓方程聯立，

整理得，

由, 得到

應用韋達定理，，化簡得到

代入，得到；

通過確定原點到直線的距離為，得到 求其最值.

試題解析：（1）∵橢圓的兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成正方形，∴， ∴， 2分

又∵橢圓經過點，代入可得，

∴故所求橢圓方程為 4分

(2)設因為的垂直平分線通過點， 顯然直線有斜率，

當直線的斜率為時,則的垂直平分線為軸，此時

所以，因為，所以

所以，當且僅當時，取得最大值為， 7分

當直線的斜率不為時，則設的方程為

所以，代入得到 8分

當, 即

方程有兩個不同的解又， 10分

所以，又，化簡得到

代入，得到 11分

又原點到直線的距離為

所以

考慮到且化簡得到 13分

因為，所以當時，即時，取得最大值.

綜上，面積的最大值為 14分

考點：橢圓的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，三角形面積公式.