Question

如圖F₁，F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，A和B是以O為圓心，以|OF₁|為半徑的圓與該左半橢圓的兩個交點，且△F₂AB是等邊三角形，則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  1

  2

• C、

  2

  2

• D、

  3

  -1

Answer 1

分析：由題設條件知 A(-

c

2

，

3 c

2

)，把A代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得

c2

4a2

+

3c2

4b2

=1，整理，得e⁴-8e²+4=0，由此能夠求出橢圓的離心率．

解答：解：由題意知 A(-

c

2

，

3 c

2

)，
把A代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得

c2

4a2

+

3c2

4b2

=1，
∴（a²-c²）c²+3a²c²=4a²（a²-c²），
整理，得e⁴-8e²+4=0，
∴e2=

8± 64-16

2

=4±2

3

，
∵0＜e＜1，∴e=

3

-1．
故選D．

點評：本題考查橢圓的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．