Question

13．各項均不相等的等差數列{a_n}的前四項的和為S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）記T_n為數列{$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）設公差為d，利用S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數列，建立方程，即可求得首項與公差，從而可得數列{a_n}的通項公式；
（2）錯位相減法，可求數列{$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$}的前n項和．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=14}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，
解得d=1或d=0，
由數列{a_n}的各項均不相等，所以d≠0，
所以d=1，
解得a₁=2．
故a_n=n+1．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
所以T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
由①-②，得
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
則T_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查等差數列的通項與求和，考查錯位相減法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．