Question

13．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a²+b²=c²+ab，c=1．
（1）求角C的大��；
（2）求$\frac{1}{2}$b+a的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知的等式變形后，得到一個關系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把變形后的關系式代入即可求出cosC的值，根據C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可得到C的度數．
（2）由已知利用正弦定理可得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，利用三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用化簡可得$\frac{1}{2}$b+a=$\frac{\sqrt{21}}{3}$sin（A+φ），其中0＜φ＜$\frac{π}{2}$，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，利用正弦函數的性質即可得解最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵a²+b²=ab+c²，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
又∵C∈（0°，180°），
∴∠C=60°…5分
（2）∵c=1，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，
∴$\frac{1}{2}$b+a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA+2sinA）=$\frac{\sqrt{21}}{3}$sin（A+φ），其中0＜φ＜$\frac{π}{2}$，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴當sin（A+φ）=1時，$\frac{1}{2}$b+a取最大值$\frac{\sqrt{21}}{3}$…12分

點評 此題考查學生靈活運用正弦定理，余弦定理三角函數恒等變換的應用以及三角形內角和定理在解三角形中的應用，考查了特殊角的三角函數值化簡求值，考查了考查了整體代入的數學思想，屬于中檔題．