Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（3）證明： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)得，對進(jìn)行分類討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可得， 時， 在上是增函數(shù)，而， 不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范圍；（3）由（2）知，當(dāng)時，有在恒成立，即，進(jìn)而換元可得，所以，即可得證.

試題解析：（1）定義域為，

若， ， 在上單調(diào)遞增

若， ，

所以，當(dāng)時， ，當(dāng)時，

綜上：若， 在上單調(diào)遞增；

若， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（2）由（1）知， 時， 不可能成立；

若， 恒成立， ，得

綜上， .

（3）由（2）知，當(dāng)時，有在上恒成立，即

令，得，即

，得證.