Question

7．已知△ABC滿足BC•AC=2$\sqrt{2}$，若C=$\frac{3π}{4}$，$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{1}{2cos（A+B）}$，則AB=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理，特殊角的三角函數值化簡可得b=$\sqrt{2}a$，由BC•AC=2$\sqrt{2}$，可解得a，b的值，利用余弦定理即可得解．

解答 解：設三角形的邊AB，BC，AC所對的邊分別為c，a，b，
∵$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{1}{2cos（A+B）}$，C=$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{a}{b}$=-$\frac{1}{2cosC}$，解得：cosC=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b=$\sqrt{2}a$，
∵BC•AC=2$\sqrt{2}$，可得：ab=2$\sqrt{2}$，解得：a=$\sqrt{2}$，b=2．
∴c²=a²+b²-2abcosC=5a²=10，
∴c=$\sqrt{10}$．即AB的值為$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，特殊角的三角函數值，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．