Question

19．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），若（-$\frac{π}{4}$，0）為f（x）的圖象的對稱中心，x=$\frac{π}{4}$為f（x）的極值點，且f（x）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）單調，則ω的最大值為5．

Answer 1

分析 由函數的對稱性可知：ω（-$\frac{π}{4}$）+φ=nπ，n∈Z，ω•$\frac{π}{4}$+φ=n′π+$\frac{π}{2}$，n′∈Z，相減可得ω=2k+1，即ω為奇數，f（x）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）單調，ω×$\frac{5π}{18}$+φ≥2kπ+$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{2π}{5}$+φ≤2π+$\frac{π}{2}$，求得ω≤8，由ω=7時，求得φ的值，求得函數的單調區間，由f（x）=sin（7x-$\frac{π}{4}$）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）不單調，不滿足題意，同理求得當ω=5時，滿足題意，即可求得ω的最大值．

解答 解：由（-$\frac{π}{4}$，0）為f（x）的圖象的對稱中心，則ω（-$\frac{π}{4}$）+φ=nπ，n∈Z，
x=$\frac{π}{4}$為f（x）的極值點即為函數y=f（x）圖象的對稱軸，
∴ω•$\frac{π}{4}$+φ=n′π+$\frac{π}{2}$，n′∈Z，
∴相減可得ω•$\frac{π}{2}$=（n′-n）π+$\frac{π}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=2k+1，即ω為奇數，
f（x）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）單調，ω×$\frac{5π}{18}$+φ≥2kπ+$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{2π}{5}$+φ≤2π+$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{11}{90}$ωπ≤π，ω≤8，
當ω=7時，7（-$\frac{π}{4}$）+φ=nπ，|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=sin（7x-$\frac{π}{4}$）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）不單調，不滿足題意，
當ω=5時，5（-$\frac{π}{4}$）+φ=nπ，|φ|≤$\frac{π}{2}$，
φ=$\frac{π}{4}$，
f（x）=sin（5x+$\frac{π}{4}$）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）單調，滿足題意，
∴ω的最大值為5．
故答案為：5．

點評 本題考查正弦函數的對稱軸，對稱中心及函數單調性的應用，考查計算能力，屬于中檔題．