Question

8．若直線y=2x與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（　　）

• A． （1，$\sqrt{5}$）
• B． （$\sqrt{5}$，+∞）
• C． （1，$\sqrt{5}$]
• D． [$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，由雙曲線與直線y=2x有交點(diǎn)，應(yīng)有漸近線的斜率$\frac{b}{a}$＞2，再由離心率e=$\frac{c}{a}$═$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，可得e的范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，
由雙曲線與直線y=2x有交點(diǎn)，
則有$\frac{b}{a}$＞2，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$＞$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
則雙曲線的離心率的取值范圍為（$\sqrt{5}$，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線和離心率，直線與雙曲線相交等問題，屬于中檔題．