Question

18．已知F為拋物線C：y²=2px（p＞0）的交點，直線l₁：y=-x與拋物線C的一個交點橫坐標為8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）不過原點的直線l₂與l₁垂直，且與拋物線交于不同的兩點A、B，若線段AB的中點為P，且|OP|=$\frac{1}{2}$|AB|，求△FAB的面積．

Answer 1

分析 （1）確定拋物線C與直線l₁：y=-x的一個交點的坐標，代入拋物線方程，即可求拋物線C方程；
（2）設l₂的方程為x=y+m，代入拋物線方程，利用韋達定理，結合OA⊥OB，求出m的值，從而可求△FAB的面積．

解答 解：（1）由題意，拋物線C與直線l₁：y=-x的一個交點的坐標為（8，-8），
代入拋物線方程可得64=2p×8，∴2p=8，
∴拋物線C方程為y²=8x；
（2）∵不過原點的直線l₂與l₁垂直，∴可設l₂的方程為x=y+m，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l₂與x軸交點為M
直線方程代入拋物線方程，可得y²-8y-8m=0
△=64+32m＞0，∴m＞-2
由韋達定理得y₁+y₂=8，y₁y₂=-8m，∴x₁x₂=m²，
由題意，OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=m²-8m=0
∴m=8或m=0（舍去）
∴l₂的方程為x=y+8，M（8，0）
∴S_△FAB=$\frac{1}{2}$|FM||y₁-y₂|=3$\sqrt{64-4×（-64）}$=24$\sqrt{5}$．

點評 本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查三角形面積是計算，屬于中檔題．