Question

【題目】如圖，幾何體中，為邊長為2的正方形，為直角梯形，，，，，．

（1）求證：；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）證明：由題意得，平面，

又平面，再由勾股定理得

平面；（2）以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，平面的法向量，平面的法向量為 ．

試題解析： （1）證明：由題意得，，，，

∴平面，∴，

∵四邊形為正方形，∴，

由，

∴平面，∴，

又∵四邊形為直角梯形，，，，，

∴，，則有，∴，

由，∴平面．

（2）由（1）知，，所在的直線相互垂直，故以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

可得，，，，，，

由（1）知平面的法向量為，

∴，，

設平面的法向量為，

則有即即

令，則，

設二面角的大小為，

，

∵，∴．