Question

【題目】已知橢圓：的左、右頂點分別為，，圓上有一動點，在軸上方，點，直線交橢圓于點，連接，.

（1）若，求的面積；

（2）設直線，的斜率存在且分別為，，若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1) 設,根據可知,再代入利用橢圓的方程進行化簡,進而求得對應的坐標.

(2)法一：設,利用的坐標表達直線方程聯立橢圓方程,再分別表示,關于的表達式,進而求得關于的表達式,利用在橢圓上滿足的方程進行化簡求解,最后再根據解析式求取值范圍即可.

法二：設直線為,同法一表達出對應的點與斜率,再列出關于的解析式求范圍即可.

（1）設,∵,∴,

則,即,①

∵點在橢圓上,∴,②

聯立①,②,消去,得,

∵,∴代入橢圓方程,得,

∴的面積.

（2）法一：設,直線方程為,代入橢圓方程,

即,得,

∵,∴,

整理得.

（注：消去,可得方程∵,也得8分）

此方程有一根為-2,設,則.

代入直線方程,得,

則,,

∵,∴,

∵,,∴.

法二：設直線為,點在圓上,

所以,

設,直線：與橢圓聯立,得

,化簡得,得,

代入直線方程,得,

,

因為在軸上方,所以,,則,且,

∵,∴.