Question

設f（x）=e^x+ae^-x（a∈R，x∈R）．
（1）討論函數g（x）=xf（x）的奇偶性；
（2）若g（x）是偶函數，解不等式f（x²-2）≤f（x）．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用定義判定函數f（x）的奇偶性，即可得出g（x）的奇偶性；
（2）g（x）是偶函數，又（1）可得f（x）=e^x-e^-x，利用導數研究函數的單調性即可解出不等式．

解答： 解：（1）當a=0時，f（x）=e^x為非奇非偶函數．
令f（-x）+f（x）=e^-x+ae^x+e^x+ae^-x=（a+1）（e^x+e^-x）=0，解得a=-1，即a=-1時，函數f（x）是奇函數；
令f（-x）f（x）=e^-x+ae^x-e^x-ae^-x=（a-1）（e^x-e^-x）=0，解得a=1，即a=1時，函數f（x）是偶函數．
∴當a=-1時，g（x）=xf（x）是偶函數；當a=1時，g（x）=xf（x）是奇函數．
（2）∵g（x）是偶函數，
∴f（x）=e^x-e^-x，
∵f′（x）=e^x+e^-x＞0，
∴函數f（x）在R上單調遞增，
∴不等式f（x²-2）≤f（x）化為x²-2＜x，即x²-x-2＜0，解得-1＜x＜2．
∴不等式的解集是（-1，2）．

點評：本題考查了函數的奇偶性、利用導數研究函數的單調性并且解不等式，考查了分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題．